3. На рисунке& BD || AС, луч ВС биссектриса угла ABD; ЕАВ = = 116°. Найдите угол ВСА.

1) Так как BD || AC, то углы EAB и ABC - односторонние углы при параллельных прямых BD и AC и секущей AB. Сумма односторонних углов равна 180 градусам, следовательно, угол ABC равен:

$$∠ABC = 180° - ∠EAB = 180° - 116° = 64°$$

2) Так как луч BC - биссектриса угла ABD, то угол DBC равен углу ABC и равен 64 градусам. Следовательно, угол ABD равен:

$$∠ABD = 2 \cdot ∠ABC = 2 \cdot 64° = 128°$$

3) Угол ABD и угол BAC - соответственные углы при параллельных прямых BD и AC и секущей AB, следовательно, они равны:

$$∠BAC = ∠ABD = 128°$$

4) Теперь найдем угол BCA. Рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. Угол ABC равен 64 градусам, угол BAC равен 128 градусам. Тогда угол BCA равен:

$$∠BCA = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 128° - 64° = -12°$$

Ошибка в вычислениях, так как угол не может быть отрицательным.

1) Так как BD || AC, то ∠EAB и ∠ACB - соответственные углы, тогда ∠ACB = 116°.

2) Так как луч ВС - биссектриса угла ABD, то углы ∠DBC = ∠ABC.

3) Так как ∠EAB = 116°, то смежный ему ∠BAC = 180° - 116° = 64°.

4) Так как BD || AC, то ∠DBA = ∠BAC = 64° как накрест лежащие.

5) Тогда, ∠ABC = 64°/2 = 32°, т.к. BC - биссектриса.

6) Тогда в Δ ABC:

$$∠BCA = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 64° - 32° = 84°$$

Ответ: ∠BCA = 84°.