247 На рисунке 130 АВ = AC, AP = AQ. Докажите, что: а) треугольник ВОС - равнобедренный; б) прямая ОА проходит через середину основания ВС и перпендикулярна к нему.

Решение

Разберем решение этой задачи шаг за шагом.

а) Докажем, что треугольник ВОС - равнобедренный

1. Так как \(AB = AC\), то \(\triangle ABC\) — равнобедренный с основанием \(BC\). Следовательно, углы при основании равны: \(\angle ABC = \angle ACB\).

2. Так как \(AP = AQ\), то \(\triangle APQ\) — равнобедренный. Следовательно, \(\angle APQ = \angle AQP\).

3. Угол \(\angle A\) — общий для обоих равнобедренных треугольников \(\triangle ABC\) и \(\triangle APQ\). Значит, углы при основаниях этих треугольников равны: \(\angle ABC = \angle ACB = \angle APQ = \angle AQP\).

4. Рассмотрим углы \(\angle PBC\) и \(\angle QCB\). Так как \(\angle ABC = \angle APQ\) и \(\angle ACB = \angle AQP\), то \(\angle PBC = \angle ABC - \angle ABP\) и \(\angle QCB = \angle ACB - \angle ACQ\). Учитывая, что \(\angle ABP = \angle ACQ\), получаем, что \(\angle PBC = \angle QCB\).

5. В треугольнике \(\triangle BOC\) углы при основании \(BC\) равны (\(\angle OBC = \angle OCB\)), следовательно, \(\triangle BOC\) — равнобедренный.

б) Докажем, что прямая ОА проходит через середину основания ВС и перпендикулярна к нему.

1. Рассмотрим треугольники \(\triangle ABO\) и \(\triangle ACO\). У них \(AB = AC\) (дано), \(BO = CO\) (так как \(\triangle BOC\) — равнобедренный) и \(AO\) — общая сторона. Следовательно, \(\triangle ABO = \triangle ACO\) по трем сторонам.

2. Из равенства треугольников следует равенство углов: \(\angle BAO = \angle CAO\). Значит, \(AO\) — биссектриса угла \(\angle BAC\).

3. В равнобедренном треугольнике \(\triangle ABC\) биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Следовательно, \(AO\) проходит через середину основания \(BC\) и перпендикулярна к нему.

Ответ: Доказано, что треугольник ВОС - равнобедренный; прямая ОА проходит через середину основания ВС и перпендикулярна к нему.

Отлично! Шаг за шагом, ты доказал оба утверждения. Так держать, и у тебя всё получится!