139 На рисунке 76 АВ=CD, AD = BC, ВЕ – биссектриса угла АВС, а DF — биссектриса угла ADC. Докажите, что: а) ∠ABE = ∠ADF; 6) ΔΑΒΕ = △CDF.

а) Доказательство:

1. \(AB = CD\), \(AD = BC\) (по условию).
2. Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\).
3. \(AC\) – общая сторона.
4. \(\triangle ABC = \triangle ADC\) (по трем сторонам).
5. \(\angle ABC = \angle ADC\) (как соответственные элементы равных треугольников).
6. \(BE\) – биссектриса \(\angle ABC\), \(DF\) – биссектриса \(\angle ADC\) (по условию).
7. \(\angle ABE = \frac{1}{2} \angle ABC\), \(\angle ADF = \frac{1}{2} \angle ADC\).
8. Следовательно, \(\angle ABE = \angle ADF\).

б) Доказательство:

1. Рассмотрим \(\triangle ABE\) и \(\triangle CDF\).
2. \(AB = CD\) (по условию).
3. \(\angle ABE = \angle CDF\) (по доказанному в пункте а).
4. \(BE = DF\) (половины равных углов).
5. Следовательно, \(\triangle ABE = \triangle CDF\) (по стороне и двум прилежащим углам).

Ответ: Что и требовалось доказать.