16.36. На рисунке 16.9 BC || AD, ∠B = 100°, ∠ACD = 95°, ∠D = 45°. Докажите, что АВ = ВС.

Дано: BC || AD, ∠B = 100°, ∠ACD = 95°, ∠D = 45°. Доказать: AB = BC. Решение: 1. ∠A + ∠D = 180° (как внутренние односторонние углы при параллельных прямых BC и AD и секущей CD). Следовательно, ∠A = 180° - ∠D = 180° - 45° = 135°. 2. Рассмотрим четырехугольник ABCD. Сумма углов четырехугольника равна 360°. Следовательно, ∠C = 360° - ∠A - ∠B - ∠D = 360° - 135° - 100° - 45° = 80°. 3. ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD, отсюда ∠BCA = ∠BCD - ∠ACD = 80° - 95° = -15°. Это невозможно. В условии задачи ошибка. Надо доказать, что CD=BC. 1. ∠A + ∠D = 180° (как внутренние односторонние углы при параллельных прямых BC и AD и секущей CD). Следовательно, ∠A = 180° - ∠D = 180° - 45° = 135°. 2. Рассмотрим четырехугольник ABCD. Сумма углов четырехугольника равна 360°. Следовательно, ∠C = 360° - ∠A - ∠B - ∠D = 360° - 135° - 100° - 45° = 80°. 3. ∠BCD = 80°, ∠ACD = 95°, следовательно ∠BCA = ∠BCD - ∠ACD. Т.к. 80° < 95° то условие задачи неверно. 4. Предположим, что ∠ACD = 35°, тогда ∠BCA = 80° - 35° = 45°. 5. Проведем высоту CH к AD. Т.к. BC || AD, то CH также является высотой к BC. ΔCHD - прямоугольный. ∠HCD = 90° - ∠D = 90° - 45° = 45°. Следовательно ΔCHD равнобедренный, значит CH = HD. 6. Рассмотрим ΔABC. ∠B = 100°, ∠BCA = 45°, следовательно ∠BAC = 180° - 100° - 45° = 35°. Проведем высоту BK к AC. Тогда ΔABK - прямоугольный. и ∠BAK = 35°. 7. Задача решена неверно. Ответ: Задача некорректна. Вероятно, имелась в виду другая конфигурация углов. Например, если ∠ACD = 35, то решение возможно, при условии доказательства, что CD=BC