162 На рисунке 92 треугольник ADE равнобедренный, DE – основание. Докажите, что: а) если BD = CE, то ∠CAD = ∠BAE и AB = = АС; б) если ∠CAD = ∠BAE, то BD = СЕ и AB = AC.

a) Доказательство:

1) Так как треугольник ADE равнобедренный, то AD = AE и углы ADE и AED равны.

2) Рассмотрим треугольники ABD и ACE. В них AD = AE (из равнобедренности треугольника ADE), BD = CE (по условию), угол ADB = угол AEC (как смежные с равными углами ADE и AED). Следовательно, треугольники ABD и ACE равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

3) Из равенства треугольников ABD и ACE следует, что AB = AC и углы BAD и CAE равны.

4) Тогда ∠CAD = ∠BAD - ∠BAC и ∠BAE = ∠CAE - ∠BAC. Так как ∠BAD = ∠CAE, то ∠CAD = ∠BAE.

б) Доказательство:

1) Рассмотрим треугольники ABD и ACE. В них AD = AE (из равнобедренности треугольника ADE), ∠CAD = ∠BAE (по условию), тогда ∠BAD = ∠CAD + ∠BAC и ∠CAE = ∠BAE + ∠BAC, следовательно, ∠BAD = ∠CAE. Значит, треугольники ABD и ACE равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

2) Из равенства треугольников ABD и ACE следует, что BD = CE и AB = AC.

Ответ: доказано