Решение:

а) Пусть прямая а проходит через середину О отрезка АВ и перпендикулярна к нему. Возьмём произвольную точку С на прямой а. Рассмотрим треугольники АОС и ВОС. У них АО = ОВ (по условию О - середина АВ), угол АОС = угол ВОС = 90 градусов (по условию а перпендикулярна АВ), и ОС - общая сторона. Следовательно, треугольники АОС и ВОС равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что АС = ВС. Таким образом, точка С равноудалена от точек А и В.

б) Пусть точка D равноудалена от точек А и В, то есть AD = BD. Докажем, что точка D лежит на прямой а. Рассмотрим треугольник ADB. Так как AD = BD, этот треугольник равнобедренный. Пусть точка О - середина АВ. Тогда отрезок DO является медианой треугольника ADB. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой. Следовательно, DO перпендикулярна АВ. Таким образом, прямая DO проходит через середину АВ и перпендикулярна к нему, то есть совпадает с прямой а. Значит, точка D лежит на прямой а.