161 В треугольниках АВС и А1В1С1 медианы АМ и А₁М₁ равны, ВС = В1С1 и ∠AMB = ∠A₁M₁B₁. Докажите, что ДАВС = ∆A1B1C1.

Доказательство:

1) Так как AM и A₁M₁ медианы, то BM = 1/2 BC и B₁M₁ = 1/2 B₁C₁.

2) По условию BC = B₁C₁, следовательно, BM = B₁M₁.

3) Рассмотрим треугольники ABM и A₁B₁M₁. В них AM = A₁M₁ (по условию), BM = B₁M₁ (доказано), ∠AMB = ∠A₁M₁B₁ (по условию). Следовательно, треугольники ABM и A₁B₁M₁ равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

4) Из равенства треугольников ABM и A₁B₁M₁ следует, что AB = A₁B₁.

5) Теперь рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁. В них AB = A₁B₁ (доказано), BC = B₁C₁ (по условию), AC = A₁C₁. Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по трем сторонам (третий признак равенства треугольников).

Ответ: доказано