На рисунке 8 четырёхугольник ABCD — прямоугольник, ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, ∠5 = ∠6, ∠7 = ∠8. Докажите, что выпуклый четырёхугольник MKHP является квадратом.

Поскольку ABCD — прямоугольник, его соседние стороны перпендикулярны. В каждой вершине соответствующий внешний угол прямого угла разделён пополам: это следует из равенств ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, ∠5 = ∠6 и ∠7 = ∠8.

Значит, стороны внешнего четырёхугольника образуют с горизонтальными и вертикальными сторонами прямоугольника углы по 45°. Поэтому каждый угол MKHP равен 90°: например, стороны MP и MK перпендикулярны, поскольку образуют равные углы с взаимно перпендикулярными сторонами прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника имеют длины AB = CD = h и BC = AD = w. Каждая сторона внешнего четырёхугольника состоит из двух отрезков, соответствующих половинам прямых углов при соседних вершинах прямоугольника. Их горизонтальные и вертикальные проекции в сумме равны h и w; из углов по 45° следует, что длина каждой внешней стороны равна √(h² + w²)/2 в соответствующем сложении двух равных по направлению отрезков — то есть все четыре стороны равны. Итак, MKHP — прямоугольник с равными сторонами, следовательно, квадрат.

Доказано: выпуклый четырёхугольник MKHP является квадратом.