В параллелограмме ABCD с острым углом A диагонали пересекаются в точке O. На отрезках AO и OC взяты точки P и K соответственно, OP = OD, OK = OB. Докажите, что четырёхугольник PBKD является прямоугольником.

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому OA = OC и OB = OD.

1. Точки P, O, K лежат на диагонали AC. По условию OP = OD, OK = OB, а OB = OD. Значит, OP = OK, то есть O — середина PK.
2. Точки B, O, D лежат на диагонали BD, и OB = OD. Значит, O — середина BD.
3. В четырёхугольнике PBKD диагонали PK и BD пересекаются и делятся точкой O пополам. Следовательно, PBKD — параллелограмм.
4. Его диагонали равны: PK = OP + OK = 2OP, а BD = OB + OD = 2OD. Так как OP = OD, получаем PK = BD.
5. Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.

Доказано: PBKD — прямоугольник.