5. На рисунке AB = BC и AO = OC, OK – биссектриса треугольника BOC. Найдите угол AOK.

1. Треугольник ABC равнобедренный, так как AB = BC. Значит, углы при основании AC равны: ∠BAC = ∠BCA. 2. Треугольник AOC равнобедренный, так как AO = OC. Значит, ∠OAC = ∠OCA. 3. Так как ∠BAC = ∠BCA и ∠OAC = ∠OCA, то ∠BAO = ∠BCO. 4. OK – биссектриса угла BOC, значит, ∠BOK = ∠KOC. 5. Рассмотрим треугольник BOC. Сумма углов в треугольнике равна 180°: ∠BOC + ∠OBC + ∠BCO = 180°. 6. Рассмотрим треугольник AOB. Сумма углов в треугольнике равна 180°: ∠AOB + ∠OBA + ∠BAO = 180°. 7. Так как ∠BAO = ∠BCO, то ∠AOB + ∠OBA = ∠BOC + ∠OBC. 8. Рассмотрим четырехугольник ABCO. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°: ∠ABC + ∠BAO + ∠BCO + ∠AOC = 360°. 9. Так как ∠BAO = ∠BCO, то ∠ABC + 2∠BCO + ∠AOC = 360°. 10. Угол AOK является суммой углов AOB и BOK. Нам нужно найти ∠AOK. 11. ∠AOK = ∠AOC / 2 + ∠BOC / 2 12. ∠AOC + ∠BOC = 180° (смежные) 13. ∠AOK = 180 / 2 = 90° Ответ: ∠AOK = 90°