3. На рисунке изображен параллелограмм ABCD. Используя рисунок, найдите \( \sin \angle PDA \).

Для решения этой задачи нам нужно найти синус угла \( \angle PDA \) в параллелограмме ABCD. Из рисунка видно, что точка P находится на стороне AB. 1. Определим координаты точек: Пусть точка A имеет координаты (0, 2), точка B – (2, 2), точка D – (0, 0), и точка C – (2, 0). Точка P находится на середине отрезка AB, поэтому ее координаты (1, 2). 2. Найдем координаты вектора \( \vec{DP} \): \( \vec{DP} = P - D = (1, 2) - (0, 0) = (1, 2) \). 3. Найдем координаты вектора \( \vec{DA} \): \( \vec{DA} = A - D = (0, 2) - (0, 0) = (0, 2) \). 4. Вычислим косинус угла \( \angle PDA \) с использованием скалярного произведения векторов \( \vec{DP} \) и \( \vec{DA} \): \( \cos \angle PDA = \frac{\vec{DP} \cdot \vec{DA}}{|\vec{DP}| \cdot |\vec{DA}|} \) \( \vec{DP} \cdot \vec{DA} = (1 \cdot 0) + (2 \cdot 2) = 0 + 4 = 4 \) \( |\vec{DP}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \) \( |\vec{DA}| = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2 \) \( \cos \angle PDA = \frac{4}{\sqrt{5} \cdot 2} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \) 5. Найдем синус угла \( \angle PDA \) с использованием основного тригонометрического тождества: \( \sin^2 \angle PDA + \cos^2 \angle PDA = 1 \) \( \sin^2 \angle PDA = 1 - \cos^2 \angle PDA = 1 - \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4 \cdot 5}{25} = 1 - \frac{20}{25} = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5} \) \( \sin \angle PDA = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \) Таким образом, \( \sin \angle PDA = \frac{\sqrt{5}}{5} \). Ответ: \( \frac{\sqrt{5}}{5} \)