На рисунке изображён график некоторой функции у = f(x). Функция F(x) = \(\frac{2}{9}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 14x - 10\) - одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры. YA y=f(x) 0 1 4 x Ответ:

Площадь закрашенной фигуры можно найти как разность значений первообразной в точках 4 и 1:

\(S = F(4) - F(1)\)

Вычислим значения первообразной в этих точках:

• \(F(4) = \frac{2}{9}(4)^3 - \frac{1}{2}(4)^2 + 14(4) - 10 = \frac{2}{9} \cdot 64 - \frac{1}{2} \cdot 16 + 56 - 10 = \frac{128}{9} - 8 + 46 = \frac{128}{9} + 38 = \frac{128 + 38 \cdot 9}{9} = \frac{128 + 342}{9} = \frac{470}{9}\)
• \(F(1) = \frac{2}{9}(1)^3 - \frac{1}{2}(1)^2 + 14(1) - 10 = \frac{2}{9} - \frac{1}{2} + 14 - 10 = \frac{2}{9} - \frac{1}{2} + 4 = \frac{2 \cdot 2 - 1 \cdot 9 + 4 \cdot 18}{18} = \frac{4 - 9 + 72}{18} = \frac{67}{18}\)

Теперь найдем разность:

\(S = \frac{470}{9} - \frac{67}{18} = \frac{470 \cdot 2 - 67}{18} = \frac{940 - 67}{18} = \frac{873}{18} = \frac{97 \cdot 9}{2 \cdot 9} = \frac{97}{2} = 48.5\)