На рисунке изображён график у = f'(x) - производной функции f(х), определённой на интервале (-5; 12). Найдите количество точек минимума функции f(х), принадлежащих отрезку [-4; 9].

Решение:

Точки минимума функции \( f(x) \) находятся там, где её производная \( f'(x) \) меняет знак с минуса на плюс.

Рассмотрим график \( y = f'(x) \) на отрезке \( [-4; 9] \).

Функция \( f'(x) \) (график на рисунке) имеет следующие точки пересечения с осью X (где \( f'(x) = 0 \)) или меняет знак:

• Примерно при \( x = -4 \), \( f'(x) \) проходит через ноль, слева от неё значения отрицательные (график ниже оси X), а справа — положительные (график выше оси X). Значит, при \( x = -4 \) — точка минимума \( f(x) \).
• Примерно при \( x = -1 \), \( f'(x) \) проходит через ноль, слева значения положительные, справа — отрицательные. Это точка максимума \( f(x) \).
• Примерно при \( x = 3 \), \( f'(x) \) проходит через ноль, слева значения отрицательные, справа — положительные. Значит, при \( x = 3 \) — точка минимума \( f(x) \).
• Примерно при \( x = 7 \), \( f'(x) \) проходит через ноль, слева значения положительные, справа — отрицательные. Это точка максимума \( f(x) \).
• Примерно при \( x = 9 \) (которая входит в отрезок \( [-4; 9] \)), \( f'(x) \) достигает локального максимума, но не пересекает ось X.

Нас интересуют точки минимума на отрезке \( [-4; 9] \).

Из анализа графика \( f'(x) \), точки минимума \( f(x) \) на отрезке \( [-4; 9] \) находятся примерно при \( x = -4 \) и \( x = 3 \).

Таким образом, на отрезке \( [-4; 9] \) есть 2 точки минимума функции \( f(x) \).

Ответ: 2