Найдите точку максимума функции у = (x – 14)^2 * e^(26-x).

Решение:

Для нахождения точки максимума найдём производную функции \( y = (x - 14)^2 e^{26-x} \) и приравняем её к нулю.

Используем правило производной произведения \( (uv)' = u'v + uv' \).

Пусть \( u = (x - 14)^2 \), тогда \( u' = 2(x - 14) \).

Пусть \( v = e^{26-x} \), тогда \( v' = e^{26-x} \cdot (-1) = -e^{26-x} \).

Производная \( y' \):

\[ y' = 2(x - 14)e^{26-x} + (x - 14)^2 (-e^{26-x}) \]

Вынесем общий множитель \( e^{26-x}(x - 14) \):

\[ y' = e^{26-x}(x - 14) [2 - (x - 14)] \]

\[ y' = e^{26-x}(x - 14) (2 - x + 14) \]

\[ y' = e^{26-x}(x - 14) (16 - x) \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ e^{26-x}(x - 14)(16 - x) = 0 \]

Так как \( e^{26-x} \) всегда больше нуля, то критические точки находятся из:

\[ (x - 14)(16 - x) = 0 \]

Это даёт две критические точки: \( x = 14 \) и \( x = 16 \).

Теперь определим, какая из этих точек является точкой максимума. Для этого исследуем знак производной на интервалах, образованных этими точками:

• Интервал \( (-\infty, 14) \): Возьмём \( x = 0 \). \( y' = e^{26}(0 - 14)(16 - 0) = e^{26}(-14)(16) < 0 \). Функция убывает.
• Интервал \( (14, 16) \): Возьмём \( x = 15 \). \( y' = e^{11}(15 - 14)(16 - 15) = e^{11}(1)(1) = e^{11} > 0 \). Функция возрастает.
• Интервал \( (16, \infty) \): Возьмём \( x = 17 \). \( y' = e^{9}(17 - 14)(16 - 17) = e^{9}(3)(-1) = -3e^{9} < 0 \). Функция убывает.

Знак производной меняется с минуса на плюс при \( x = 14 \), значит, это точка минимума.

Знак производной меняется с плюса на минус при \( x = 16 \), значит, это точка максимума.

Ответ: x = 16