3. На рисунке МИРК – трапеция. Найдите диагональ МР, если МК = 24, NP = 18, BP = 12.

Пусть дана трапеция $$MNPK$$ с основаниями $$NP$$ и $$MK$$. Диагонали $$MP$$ и $$NK$$ пересекаются в точке $$B$$.

Рассмотрим треугольники $$ΔNPB$$ и $$ΔMKB$$. Они подобны по двум углам (∠$$NPB$$ = ∠$$MKB$$ как вертикальные, ∠$$PNB$$ = ∠$$BMK$$ как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых $$NP$$ и $$MK$$ и секущей $$NK$$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: $$ \frac{NP}{MK} = \frac{PB}{BK} = \frac{NB}{MB} $$.

Из условия известно, что $$NP = 18$$ и $$MK = 24$$, тогда $$ \frac{NP}{MK} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4} $$.

Также известно, что $$BP = 12$$. Пусть $$MP = x$$, тогда $$BK = x - 12$$ . Подставим в пропорцию: $$ \frac{3}{4} = \frac{12}{x-12} $$.

Решим уравнение: $$ 3(x - 12) = 4 \cdot 12 $$, $$ 3x - 36 = 48 $$, $$ 3x = 84 $$, $$ x = 28 $$.

Следовательно, диагональ $$MP = 28$$.

Ответ: 28