3. На рисунке MNPK – трапеция. Найдите диагональ МР, если МК = 24, NP = 18, BP = 12.

Рассмотрим трапецию $$MNPK$$. $$NP$$ и $$MK$$ - основания трапеции, $$MP$$ и $$NK$$ - боковые стороны. $$B$$ - точка пересечения диагоналей трапеции.

В трапеции $$MNPK$$ основания $$NP$$ и $$MK$$ параллельны, следовательно, треугольники $$NPB$$ и $$MKB$$ подобны по двум углам (угол $$NPB$$ равен углу $$MKB$$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $$NP$$ и $$MK$$ и секущей $$PK$$, угол $$NBP$$ равен углу $$MBK$$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $$NP$$ и $$MK$$ и секущей $$MN$$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$ \frac{NP}{MK} = \frac{BP}{BK} = \frac{NB}{MB} $$

Подставим известные значения $$NP = 18$$ и $$MK = 24$$:

$$ \frac{18}{24} = \frac{3}{4} $$

Следовательно, коэффициент подобия $$k = \frac{3}{4}$$.

Также известно, что $$BP = 12$$. Обозначим длину отрезка $$BK$$ как $$x$$. Тогда:

$$ \frac{BP}{BK} = \frac{12}{x} = \frac{3}{4} $$

Решим уравнение для $$x$$:

$$ 3x = 12 \cdot 4 $$ $$ 3x = 48 $$ $$ x = 16 $$

Итак, $$BK = 16$$.

Теперь рассмотрим диагональ $$MP$$. Она состоит из отрезков $$MB$$ и $$BP$$. Необходимо найти длину отрезка $$MB$$.

Из подобия треугольников $$NPB$$ и $$MKB$$ следует:

$$ \frac{NB}{MB} = \frac{NP}{MK} = \frac{3}{4} $$

Обозначим $$MB = y$$. Тогда:

$$ \frac{NB}{y} = \frac{3}{4} $$

Выразим $$NB$$ через $$y$$:

$$ NB = \frac{3}{4}y $$

Тогда:

$$ \frac{MB}{BP} = \frac{4}{3} $$ $$ MB = \frac{4}{3}BP $$

Так как $$BP = 12$$:

$$ MB = \frac{4}{3} \cdot 12 = 16 $$

Длина диагонали $$MP$$ равна сумме длин отрезков $$MB$$ и $$BP$$:

$$ MP = MB + BP = 16 + 12 = 28 $$

Ответ: 28