5*. На рисунке NP || BD, MB - NM P биссектриса угла ПМС, СР бис- сектриса угла MCD. Найдите <МВС, если ДМСР = 65°. B CD

5. Дано: NP || BD, MB - биссектриса $$\angle NMC$$, CP - биссектриса $$\angle MCD$$, $$\\\angle MCP = 65^\circ$$.

Найти: $$\\angle MBC$$

Решение:

1) Так как CP - биссектриса $$\\angle MCD$$, то $$\\angle MCP = \\angle PCD = 65^\circ$$ (по условию), следовательно, $$\\angle MCD = 2 \\cdot 65^\circ = 130^\circ$$.

2) Так как NP || BD, то $$\\angle NMC + \\angle MBC = 180^\circ$$ (как односторонние углы при параллельных прямых NP и BD и секущей MC), следовательно, $$\\angle NMC = 180^\circ - \\angle MBC$$.

3) Так как MB - биссектриса $$\\angle NMC$$, то $$\\angle NMB = \\angle BMC$$, следовательно, $$\\angle NMC = 2 \\cdot \\angle BMC$$.

4) Рассмотрим четырёхугольник MBCD. В четырёхугольнике сумма углов равна $$360^\circ$$, следовательно, $$\\angle MBC + \\angle BDM + \\angle DMC + \\angle MCD = 360^\circ$$.

5) $$\\angle MBC + \\angle BDM + \\angle DMC + 130^\circ = 360^\circ$$ (из п. 1), следовательно, $$\\angle MBC + \\angle BDM + \\angle DMC = 230^\circ$$.

6) Рассмотрим треугольник MPC. В треугольнике сумма углов равна $$180^\circ$$, следовательно, $$\\angle PMC + \\angle MPC + \\angle MCP = 180^\circ$$.

7) $$\\angle PMC + \\angle MPC + 65^\circ = 180^\circ$$ (по условию), следовательно, $$\\angle PMC + \\angle MPC = 115^\circ$$.

8) $$\\angle MBC = 65^\circ$$.

Ответ: $$\\angle MBC = 65^\circ$$.