4. На рисунке треугольник АВС – равнобедренный с основанием АС, AD – его высота, BD = 16 см, DC = 4 см. Найдите основание АС и высоту AD.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, AC - основание, AD - высота, BD = 16 см, DC = 4 см.

Тогда:

$$ BC = BD + DC = 16 + 4 = 20 \text{ см} $$

Т.к. треугольник ABC - равнобедренный, то AB = BC = 20 см.

Рассмотрим треугольник ABD. По теореме Пифагора:

$$ AB^2 = AD^2 + BD^2 $$ $$ AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12 \text{ см} $$

Высота AD является медианой, значит:

$$ AC = 2 \cdot DC = 2 \cdot 4 = 8 \text{ см} $$

Ответ: AC = 8 см, AD = 12 см.