4. На рисунке треугольник MNP вписан в окружность Найдите радиус окружности, если известно, что LNMP-a NP-5.

Для решения задачи потребуется теорема синусов, которая связывает стороны треугольника с синусами противолежащих углов и радиусом описанной окружности. Теорема синусов утверждает: \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\), где a, b, c - стороны треугольника, A, B, C - противолежащие углы, R - радиус описанной окружности. В нашем случае: \(NP = 5\) \(\angle NMP = \alpha\) Нам нужно найти радиус окружности (R). Используем теорему синусов: \(\frac{NP}{\sin \angle NMP} = 2R\) Подставим известные значения: \(\frac{5}{\sin \alpha} = 2R\) Теперь выразим радиус R: \(R = \frac{5}{2\sin \alpha}\) Таким образом, радиус окружности равен \(\frac{5}{2\sin \alpha}\). Ответ: \(R = \frac{5}{2\sin \alpha}\)