6. Площадь треугольника МРК равна 8, LP = 45°. MP=8√2. Найдите сторону МК.

Для решения задачи воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними: \(S = \frac{1}{2} \cdot MP \cdot PK \cdot \sin(\angle P)\) Где: \(S = 8\) - площадь треугольника MPK \(MP = 8\sqrt{2}\) \(\angle P = 45^\circ\) Подставим известные значения и найдем PK: \(8 = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot PK \cdot \sin(45^\circ)\) Так как \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), получим: \(8 = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot PK \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\) \(8 = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot PK\) \(8 = 4 \cdot PK\) \(PK = \frac{8}{4}\) \(PK = 2\) Теперь, когда известны стороны MP и PK, а также угол между ними, можно найти сторону MK, используя теорему косинусов: \(MK^2 = MP^2 + PK^2 - 2 \cdot MP \cdot PK \cdot \cos(\angle P)\) \(MP = 8\sqrt{2}\) \(PK = 2\) \(\angle P = 45^\circ\) \(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) Подставим значения: \(MK^2 = (8\sqrt{2})^2 + 2^2 - 2 \cdot 8\sqrt{2} \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\) \(MK^2 = 128 + 4 - 32\) \(MK^2 = 100\) \(MK = \sqrt{100}\) \(MK = 10\) Ответ: 10