8. На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и ВС выбрали произвольную точку S. Докажите, что сумма площадей треугольников BSC и ASD равна половине площади трапеции.

Пошаговое решение:

• Пусть трапеция ABCD с основаниями AD и BC.
• Пусть S – произвольная точка на средней линии трапеции.
• Обозначим высоту трапеции как h.
• Площадь трапеции ABCD равна: \( S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h \).
• Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \( m = \frac{AD + BC}{2} \).
• Площадь треугольника ASD равна: \( S_{ASD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_1 \), где h_1 – высота из S на AD.
• Площадь треугольника BSC равна: \( S_{BSC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_2 \), где h_2 – высота из S на BC.
• Так как S лежит на средней линии, \( h_1 = h_2 = \frac{h}{2} \).
• Сумма площадей треугольников BSC и ASD равна: \( S_{BSC} + S_{ASD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot \frac{h}{2} + \frac{1}{2} \cdot AD \cdot \frac{h}{2} \).
• Выносим \(\frac{1}{2} \cdot \frac{h}{2} \) за скобки: \( S_{BSC} + S_{ASD} = \frac{h}{4}(BC + AD) \).
• Преобразуем: \( S_{BSC} + S_{ASD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{AD + BC}{2} \cdot h \).
• Получаем, что \( S_{BSC} + S_{ASD} = \frac{1}{2} \cdot S_{ABCD} \).

Ответ: Сумма площадей треугольников BSC и ASD равна половине площади трапеции.