5. Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку К. Докажите, что сумма площадей треугольников ВКС и AKD равна половине площади параллелограмма.

Пошаговое решение:

• Обозначим площадь параллелограмма ABCD как S.
• Площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольников ABC и ADC: \( S = S_{ABC} + S_{ADC} \).
• Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников BKC и ABK: \( S_{ABC} = S_{BKC} + S_{ABK} \).
• Площадь треугольника ADC равна сумме площадей треугольников AKD и DKC: \( S_{ADC} = S_{AKD} + S_{DKC} \).
• Тогда \( S = S_{BKC} + S_{ABK} + S_{AKD} + S_{DKC} \).
• Перегруппируем слагаемые: \( S = (S_{BKC} + S_{AKD}) + (S_{ABK} + S_{DKC}) \).
• Пусть сумма площадей треугольников BKC и AKD равна X: \( X = S_{BKC} + S_{AKD} \).
• Следовательно, \( S = X + (S_{ABK} + S_{DKC}) \).
• Также площадь параллелограмма равна удвоенной площади каждого из треугольников ABC и ADC, то есть половине площади параллелограмма. Значит, \( X = \frac{1}{2}S \).

Ответ: Сумма площадей треугольников ВКС и AKD равна половине площади параллелограмма.