7. Точка М – середина боковой стороны АВ трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника MCD равна половине площади трапеции.

Пошаговое решение:

• Пусть ABCD – трапеция, где BC и AD – основания, а M – середина боковой стороны AB.
• Проведем высоту трапеции h.
• Площадь трапеции ABCD равна: \( S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot h \).
• Рассмотрим треугольник MCD. Его площадь можно найти как разность между площадью трапеции ABCD и площадями треугольников MBC и AMD.
• Так как M – середина AB, то AM = MB.
• Площадь треугольника MBC равна: \( S_{MBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_1 \), где h_1 – высота, опущенная из M на BC.
• Площадь треугольника AMD равна: \( S_{AMD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_2 \), где h_2 – высота, опущенная из M на AD.
• Поскольку M – середина AB, \( h_1 + h_2 = h \).
• Выразим площадь треугольника MCD: \( S_{MCD} = S_{ABCD} - S_{MBC} - S_{AMD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot h - \frac{1}{2}BC \cdot h_1 - \frac{1}{2}AD \cdot h_2 \).
• \( S_{MCD} = \frac{1}{2} (BC \cdot h - BC \cdot h_1 + AD \cdot h - AD \cdot h_2) \).
• \( S_{MCD} = \frac{1}{2} (BC(h - h_1) + AD(h - h_2)) = \frac{1}{2} (BC \cdot h_2 + AD \cdot h_1) \).
• Т.к. M – середина боковой стороны, то \( S_{MCD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{BC + AD}{2} \cdot h = \frac{1}{2} S_{ABCD} \).

Ответ: Площадь треугольника MCD равна половине площади трапеции.