6.В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке Е. Докажите, что площади треугольников АЕВ и CED равны.

Пошаговое решение:

• Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC, диагонали которой пересекаются в точке E.
• Треугольники ABD и ACD имеют общее основание AD и равные высоты (так как AD и BC параллельны), следовательно, их площади равны: \( S_{ABD} = S_{ACD} \).
• Площадь треугольника ABD можно представить как сумму площадей треугольников AEB и AED: \( S_{ABD} = S_{AEB} + S_{AED} \).
• Площадь треугольника ACD можно представить как сумму площадей треугольников CED и AED: \( S_{ACD} = S_{CED} + S_{AED} \).
• Так как \( S_{ABD} = S_{ACD} \), то \( S_{AEB} + S_{AED} = S_{CED} + S_{AED} \).
• Вычитаем из обеих частей равенства площадь треугольника AED: \( S_{AEB} = S_{CED} \).

Ответ: Площади треугольников АЕВ и CED равны.