24. На средней линии трапеции KLMN с основаниями KN и LM выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников LEM и KEN равна половине площади трапеции.

Пусть ABCD - трапеция, EF - её средняя линия, E - произвольная точка на средней линии.

Площадь треугольника ABE = 1/2 * AB * h, где h - высота, опущенная из точки E на основание AB.

Площадь трапеции ABCD = 1/2 * (BC + AD) * H, где H - высота трапеции.

Так как EF - средняя линия, то EF = 1/2 * (BC + AD).

Высота треугольников LEM и KEN равна половине высоты трапеции, то есть h = H/2.

Тогда площадь треугольника LEM = 1/2 * LM * h = 1/2 * LM * H/2 = 1/4 * LM * H.

Площадь треугольника KEN = 1/2 * KN * h = 1/2 * KN * H/2 = 1/4 * KN * H.

Сумма площадей треугольников LEM и KEN:

$$S_{LEM} + S_{KEN} = 1/4 * LM * H + 1/4 * KN * H = 1/4 * H * (LM + KN) = 1/2 * (1/2 * (LM + KN) * H) = 1/2 * S_{KLMN}$$

Следовательно, сумма площадей треугольников LEM и KEN равна половине площади трапеции KLMN.

Что и требовалось доказать.