На средней линии трапеции PXDS с основаниями PS и XD выбрали произвольную точку 2. Докажите, что сумма площадей треугольников XZD и PZS равна половине площади трапеции.

Решение:

Пусть трапеция PXDS, где PS и XD — основания, а MN — средняя линия. Пусть точка Z лежит на средней линии MN.

Обозначим высоту трапеции как h. Тогда высота каждого из треугольников XZD и PZS равна h/2.

Площадь треугольника XZD:

\[S_{XZD} = \frac{1}{2} \cdot XD \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{4} \cdot XD \cdot h\]

Площадь треугольника PZS:

\[S_{PZS} = \frac{1}{2} \cdot PS \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{4} \cdot PS \cdot h\]

Сумма площадей треугольников XZD и PZS:

\[S_{XZD} + S_{PZS} = \frac{1}{4} \cdot XD \cdot h + \frac{1}{4} \cdot PS \cdot h = \frac{1}{4} \cdot h \cdot (XD + PS)\]

Площадь трапеции PXDS:

\[S_{PXDS} = \frac{1}{2} \cdot (XD + PS) \cdot h\]

Сравним сумму площадей треугольников и площадь трапеции:

\[\frac{S_{XZD} + S_{PZS}}{S_{PXDS}} = \frac{\frac{1}{4} \cdot h \cdot (XD + PS)}{\frac{1}{2} \cdot (XD + PS) \cdot h} = \frac{1}{2}\]

Следовательно, сумма площадей треугольников XZD и PZS равна половине площади трапеции.

Что и требовалось доказать.