11. На сторонах AB и AC треугольника ABC взяли точки M и N соответственно так, что AM=6, MB=8, AN = 4 и NC = 12. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника AMN равна 9.

Дано: AM = 6, MB = 8, AN = 4, NC = 12, S(AMN) = 9 Найти: S(ABC) Решение: 1. Найдем длины сторон AB и AC: AB = AM + MB = 6 + 8 = 14 AC = AN + NC = 4 + 12 = 16 2. Используем формулу для отношения площадей треугольников с общим углом: $$\frac{S(AMN)}{S(ABC)} = \frac{AM \cdot AN}{AB \cdot AC}$$ 3. Подставим известные значения: $$\frac{9}{S(ABC)} = \frac{6 \cdot 4}{14 \cdot 16} = \frac{24}{224} = \frac{3}{28}$$ 4. Выразим и найдем S(ABC): $$S(ABC) = \frac{9 \cdot 28}{3} = 3 \cdot 28 = 84$$ Ответ: 84