28 На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты соответственно точки D и E так, что длина отрезка DE равна 5 см и \(\frac{BD}{DA} = \frac{2}{3}\). Плоскость α проходит через точки B и C и параллельна отрезку DE. Найдите длину отрезка BC.

Дано: D ∈ AB, E ∈ AC, DE = 5 см, BD/DA = 2/3, α ∋ B, α ∋ C, DE || α.

Найти: BC.

Решение:

1. Т.к. DE || α, то DE || BC (если плоскость проходит через две точки прямой, параллельной другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой).

2. ΔADE ~ ΔABC (по двум углам: ∠A - общий, ∠ADE = ∠ABC как соответственные при DE || BC).

3. Значит, DE/BC = AD/AB. Т.к. BD/DA = 2/3, то AD/AB = AD/(AD + BD) = 3/(3 + 2) = 3/5.

4. Тогда 5/BC = 3/5, откуда BC = 25/3 см = 8 1/3 см.

Ответ: BC = 8 1/3 см.