30 Основание AB трапеции ABCD параллельно плоскости α, а вершина C лежит в этой плоскости. Докажите, что: а) основание CD трапеции лежит в плоскости α; б) средняя линия трапеции параллельна плоскости α.

Дано: ABCD – трапеция, AB || α, C ∈ α.

Доказать: а) CD ∈ α; б) средняя линия трапеции || α.

Решение:

а) Т.к. AB || CD (ABCD – трапеция), то AB и CD лежат в одной плоскости. Рассмотрим плоскость ABC. Т.к. AB || α и C ∈ α, то вся плоскость ABC лежит в плоскости α. Следовательно, точка D лежит в плоскости α. Таким образом, все вершины трапеции ABCD лежат в плоскости α, т.е. трапеция ABCD лежит в плоскости α. Значит, и CD ∈ α.

б) Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Пусть E и F – середины сторон AD и BC соответственно. Тогда EF – средняя линия трапеции ABCD. Т.к. трапеция лежит в плоскости α, то EF лежит в плоскости α. Значит, средняя линия трапеции параллельна плоскости α.

Ответ: a) Основание CD трапеции лежит в плоскости α (доказано); б) Средняя линия трапеции параллельна плоскости α (доказано).