27 Точка С лежит на отрезке AB, причём AB : BC = 4 : 3. Отрезок CD, равный 12 см, параллелен плоскости α, проходящей через точку B. Докажите, что прямая AD пересекает плоскость α в некоторой точке E, и найдите отрезок BE.

Дано: C ∈ AB, AB : BC = 4 : 3, CD = 12 см, CD || α, B ∈ α.

Доказать: AD ∩ α = E.

Найти: BE.

Решение:

1. Т.к. CD || α, то можно провести плоскость через CD параллельно α. Эта плоскость пересечет прямую AB в точке B (т.к. B ∈ α).

2. Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые AD и CD. Эта плоскость пересечет плоскость α по некоторой прямой, проходящей через точку B. Обозначим точку пересечения AD и α за E. Тогда E лежит на прямой BE.

3. ΔCDB подобен ΔAEB (т.к. CD || α, и плоскость α проходит через точку B). Следовательно, CD/BE = AC/AB. Т.к. AB : BC = 4 : 3, то AC = AB - BC = 4x - 3x = x. Значит, AC/AB = x/4x = 1/4.

4. Тогда 12/BE = 1/4, откуда BE = 48 см.

Ответ: AD пересекает плоскость α в точке E; BE = 48 см.