На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены соответственно точки M и H так, что AB = 3BM, BC = 3BH. Используя векторы, докажите, что MH ∥ AC и MH = ⅓ AC.

Из условий следует, что \(\overrightarrow{BM}=\frac13\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BH}=\frac13\overrightarrow{BC}\).

Запишем вектор из M в H через точку B:

\(\overrightarrow{MH}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BH}=-\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BH}= -\frac13\overrightarrow{BA}+\frac13\overrightarrow{BC}=\frac13(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC})=\frac13\overrightarrow{AC}.\)

Значит, \(\overrightarrow{MH}\) является положительным числовым множителем \(\overrightarrow{AC}\), поэтому отрезки параллельны, а длина MH составляет треть длины AC.