В трапеции ABCD ∠A = 60°, ∠D = 45°, меньшая боковая сторона равна 10 см, а меньшее основание 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Так как вершины трапеции перечислены по порядку, основания AD и BC параллельны: иначе углы A и D при боковой стороне AD были бы смежными и в сумме составляли 180°, но их сумма равна 105°. Обозначим высоту через h.

1. Боковые стороны выражаются через высоту: \(AB=\frac{h}{\sin60^\circ}\), \(CD=\frac{h}{\sin45^\circ}\). Поскольку \(\frac1{\sin60^\circ}<\frac1{\sin45^\circ}\), меньшая боковая сторона — AB. Поэтому \(AB=10\) см и \(h=10\sin60^\circ=5\sqrt3\) см.

2. Горизонтальные проекции боковых сторон на направление оснований равны \(h\cot60^\circ\) и \(h\cot45^\circ\). Значит, разность оснований равна \(h(\cot60^\circ+\cot45^\circ)=5+5\sqrt3\) см.

3. Меньшее основание равно 8 см, поэтому сумма оснований равна \(8+(8+5+5\sqrt3)=21+5\sqrt3\) см. Средняя линия равна половине суммы оснований: \(m=\frac{21+5\sqrt3}{2}\) см.

Ответ: \(\frac{21+5\sqrt3}{2}\) см, или приблизительно 14,83 см.