4. На сторонах АВ и ВС параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки М и N так, что АМ : МВ = 3 : 2, BN : NC = 2 : 5. Выразите вектор MN через векторы DA = а и DC=b.

Пусть \(\overrightarrow{DA} = \vec{a}\) и \(\overrightarrow{DC} = \vec{b}\).

Тогда \(\overrightarrow{AB} = \vec{b}\) и \(\overrightarrow{BC} = \vec{a}\).

Так как \(AM : MB = 3 : 2\), то \(\overrightarrow{AM} = \frac{3}{5}\overrightarrow{AB} = \frac{3}{5}\vec{b}\).

Так как \(BN : NC = 2 : 5\), то \(\overrightarrow{BN} = \frac{2}{7}\overrightarrow{BC} = \frac{2}{7}\vec{a}\).

Теперь выразим вектор \(\overrightarrow{MN}\) через известные векторы:

\(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BN}\)

\(\overrightarrow{MB} = -\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AB} = \frac{2}{5}\overrightarrow{AB} = \frac{2}{5}\vec{b}\)

Следовательно, \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BN} = \frac{2}{5}\vec{b} + \frac{2}{7}\vec{a} = \frac{2}{7}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}\)

Ответ: \(\overrightarrow{MN} = \frac{2}{7}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}\)