5. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки К и 1. При этом АК: КВ 2:5, BL: LC = 4: 7. Площадь треугольника CKL равна 1. Найдите площади треугольников АВС и AKL.

Давай разберем эту задачу шаг за шагом. Пусть площадь треугольника ABC равна S. Нам дано, что \[AK:KB = 2:5\] и \[BL:LC = 4:7\] Значит, \[AK = \frac{2}{7}AB\] и \[LC = \frac{7}{11}BC\] Теперь найдем отношение площадей треугольников CKL и ABC. Площадь треугольника CKL можно выразить как: \[S_{CKL} = \frac{1}{2} \cdot LC \cdot KC \cdot sin(C)\] Площадь треугольника ABC: \[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC \cdot sin(C)\] Тогда отношение площадей будет: \[\frac{S_{CKL}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot LC \cdot KC \cdot sin(C)}{\frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC \cdot sin(C)} = \frac{LC}{BC} \cdot \frac{KC}{AC}\] Подставляем известные значения: \[\frac{1}{S} = \frac{\frac{7}{11}BC}{BC} \cdot \frac{\frac{5}{7}AB}{AB} = \frac{7}{11} \cdot \frac{5}{7} = \frac{5}{11}\] Отсюда площадь треугольника ABC равна: \[S = \frac{11}{5} \cdot 1 = \frac{11}{5} = 2.2\] Теперь найдем площадь треугольника AKL. Сначала найдем отношение \[\frac{S_{AKL}}{S_{ABC}}\] \[S_{AKL} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot AL \cdot sin(A)\] \[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot sin(A)\] \[\frac{S_{AKL}}{S_{ABC}} = \frac{AK}{AB} \cdot \frac{AL}{AC}\] \[AL = \frac{4}{11}BC\] \[\frac{S_{AKL}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{2}{7}AB}{AB} \cdot \frac{\frac{4}{11}BC}{BC} = \frac{2}{7} \cdot \frac{4}{11} = \frac{8}{77}\] Тогда площадь треугольника AKL равна: \[S_{AKL} = \frac{8}{77} \cdot S_{ABC} = \frac{8}{77} \cdot \frac{11}{5} = \frac{8}{35}\]

Ответ: Площадь треугольника ABC равна 2.2, площадь треугольника AKL равна 8/35.

Продолжай тренироваться, и ты станешь настоящим экспертом в геометрии!