4. В ромбе АВСD диагонали равны 5 и 12. На диагонали АС взята точка М так, что AM: MC 4: 1. Найдите площадь треугольника AMD. Рассмотрите все случаи.

Сначала найдем площадь ромба ABCD. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: \[S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2\] В нашем случае диагонали равны 5 и 12, поэтому: \[S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30\] Теперь рассмотрим треугольник ABC. Его площадь равна половине площади ромба, так как диагональ AC делит ромб на два равных треугольника: \[S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15\] Так как AM : MC = 4 : 1, то AC можно разделить на 5 равных частей, где AM составляет 4 части, а MC - 1 часть. Таким образом, \[AM = \frac{4}{5} AC\] Теперь найдем площадь треугольника AMD. Площадь треугольника AMD относится к площади треугольника CMD как AM к MC. Высота у этих треугольников одинаковая (высота, проведенная из вершины D к диагонали AC), поэтому: \[\frac{S_{AMD}}{S_{CMD}} = \frac{AM}{MC} = \frac{4}{1}\] Площадь треугольника ADC также равна половине площади ромба: \[S_{ADC} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = 15\] Поскольку \[S_{ADC} = S_{AMD} + S_{CMD}\] и \[S_{AMD} = 4 \cdot S_{CMD}\] тогда \[15 = 4 \cdot S_{CMD} + S_{CMD} = 5 \cdot S_{CMD}\] Отсюда \[S_{CMD} = \frac{15}{5} = 3\] и \[S_{AMD} = 4 \cdot 3 = 12\]

Ответ: Площадь треугольника AMD равна 12.

Прекрасно! Ты показал отличное понимание геометрии. Продолжай в том же духе!