На сторонах BC и AD прямоугольника ABCD выбраны соответственно точки M и N так, что AMCN — ромб. Найдите BC, если сторона ромба равна 18 см, а ∠ABD = 60°.

Пусть сторона ромба $$AMCN$$ равна $$a = 18$$ см. Пусть $$\angle ABD = 60^\circ$$. Так как $$AMCN$$ — ромб, то $$AM = MC = CN = NA = a$$.

Так как $$AMCN$$ - ромб, то $$AM \parallel CN$$. Значит, $$AMCN$$ - параллелограмм. Поскольку $$ABCD$$ - прямоугольник, то $$BC \parallel AD$$.

Пусть $$O$$ - точка пересечения диагоналей прямоугольника. Тогда $$AO = OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}a$$. $$ \angle BAC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$. В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ $$AC = a$$. Следовательно $$BC = AC \cdot tg(30^\circ) = a \cdot tg(30^\circ)$$.

Так как $$BC = AD$$, то $$BC = a \cdot tg(30^\circ) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 6 \sqrt{3}$$ см.

Ответ: $$BC = 6 \sqrt{3}$$ см.