3. На сторонах BC и AD прямоугольника ABCD выбраны соответственно точки M и N так, что AMCN — ромб. Найдите BC, если сторона ромба равна 18 см, а ∠ABD = 60°.

Пусть $$ABCD$$ - прямоугольник, $$AMCN$$ - ромб, $$\,AM=MC=CN=NA=18$$ см, $$\,\angle ABD = 60^\circ$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$\,ABD$$. В нем $$\,\angle ADB = 90^\circ - \angle ABD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$.

Пусть $$\,O$$ - точка пересечения диагоналей ромба $$\,AMCN$$. Тогда $$\,AO$$ - биссектриса угла $$\,MAN$$. Так как $$\,AMCN$$ - ромб, то $$\,AM = MC = 18$$ см, а следовательно, $$\,AN = AM = 18$$ см. Треугольник $$\,AMN$$ - равнобедренный, и $$\,AO$$ является его биссектрисой, медианой и высотой. Значит, $$\,AO \perp MN$$.

Треугольник $$\,AON$$ - прямоугольный. В нем $$\,\angle ANO = \angle ADN = 30^\circ$$. Сторона $$\,AN = 18$$ см - гипотенуза. Тогда $$\,ON = \frac{1}{2}AN = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$$ см (катет, лежащий против угла $$30^\circ$$ равен половине гипотенузы).

Так как $$\,AMCN$$ - ромб, то $$\,AO = OC$$ и $$\,MO = ON$$. Тогда $$\,MN = 2 \cdot ON = 2 \cdot 9 = 18$$ см. Так как $$\,ABCD$$ - прямоугольник, то $$\,AD = BC$$, и $$\,AD = AN + ND$$. Так как $$\,AN = 18$$ см и $$\,MN = 18$$ см, то $$\,AD = 18$$ см, следовательно, $$\,BC = AD = 18$$ см.

Ответ: 18 см