На сторонах BC и AD прямоугольника ABCD выбраны соответственно точки M и N так, что AMCN — ромб. Найдите сторону ромба, если AD = 18 см, а ∠ADB = 30°.

Обозначим \(AB=w\). В прямоугольном треугольнике ADB угол при D равен \(30^\circ\), поэтому \(\tan30^\circ=\frac{AB}{AD}\).

Отсюда \(w=18\tan30^\circ=6\sqrt3\) см.

Пусть \(BM=t\). Тогда \(MC=18-t\), а по теореме Пифагора \(AM=\sqrt{(6\sqrt3)^2+t^2}=\sqrt{108+t^2}\). Так как AMCN — ромб, соседние стороны AM и MC равны:

\(\sqrt{108+t^2}=18-t\).

Возводим обе части в квадрат: \(108+t^2=(18-t)^2=324-36t+t^2\), откуда \(t=6\). Следовательно, сторона ромба \(MC=18-6=12\) см.

Ответ: 12 см.