В углах, смежных с углами ромба, проведены биссектрисы. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник.

Пусть диагонали ромба — AC и BD. Диагональ ромба делит углы при своих концах пополам, поэтому AC — биссектриса углов при A и C, а BD — биссектриса углов при B и D.

Биссектриса угла, смежного с углом ромба, перпендикулярна биссектрисе этого угла: биссектрисы смежных углов образуют прямой угол. Значит, биссектрисы смежных углов ромба при A и C перпендикулярны AC и параллельны друг другу. Аналогично биссектрисы при B и D параллельны друг другу и перпендикулярны BD.

Соседние углы ромба дополнительны, поэтому его диагонали AC и BD перпендикулярны. Следовательно, две пары получившихся биссектрис взаимно перпендикулярны. При их пересечении образуется четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны, а все углы прямые. Это прямоугольник.