На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты. Докажите, что точки пересечения их диагоналей являются вершинами квадрата.

Обозначим параллелограмм \(ABCD\), а центры квадратов, построенных на его сторонах, — \(O_{AB}, O_{BC}, O_{CD}, O_{DA}\).

1. Центр квадрата на стороне — середина этой стороны. Поэтому \(O_{AB}\) и \(O_{CD}\) — середины противоположных сторон параллелограмма, как и \(O_{BC}\) и \(O_{DA}\).
2. Отрезок, соединяющий середины противоположных сторон, параллелен другой паре сторон и равен половине их длины. Следовательно, отрезки \(O_{AB}O_{CD}\) и \(O_{BC}O_{DA}\) имеют равные длины: каждый равен половине одной из сторон параллелограмма.
3. Так как квадраты построены вне параллелограмма, соответствующие отрезки между центрами квадратов перпендикулярны друг другу.
4. Четырёхугольник с равными сторонами и прямым углом является квадратом.

Ответ: центры квадратов, построенных на сторонах параллелограмма, являются вершинами квадрата.