На сторонах угла CAD отмечены точки B и E так, что B лежит на отрезке AC, а точка E — на отрезке AD, причём AC = AD и AB = AE. Докажите, что ∠CBD = ∠DEC.

Рассмотрим треугольники ABD и AEC. Имеем AB = AE и AD = AC по условию. Угол BAD равен углу EAC, поскольку оба совпадают с углом CAD: луч AB лежит на луче AC, а луч AE — на луче AD. Следовательно, треугольники ABD и AEC равны по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует, что BD = EC и ∠ABD = ∠AEC. Так как A, B, C лежат на одной прямой, углы CBD и ABD смежные. Аналогично, A, E, D лежат на одной прямой, поэтому углы DEC и AEC смежные. Смежные углы, образованные дополнениями равных углов, равны: ∠CBD = 180° − ∠ABD, ∠DEC = 180° − ∠AEC. Значит, ∠CBD = ∠DEC.