На сторонах угла ВАС и на его биссектрисе отложены равные отрезки АВ, АС и AD. Величина угла BDC равна 160°. Определите величину угла ВАС.

Пусть угол BAC = α. Так как AB = AC = AD, треугольники ABC и ACD - равнобедренные. Так как AD - биссектриса угла BAC, углы BAD и CAD равны α/2. В равнобедренном треугольнике ABC углы при основании равны, т.е. угол ABC = углу ACB = (180 - α) / 2 = 90 - α/2. В равнобедренном треугольнике ACD углы при основании равны, т.е. угол ACD = углу ADC = (180 - α) / 2 = 90 - α/2. Угол BDC = 160°. Угол BDC = угол ADB + угол ADC = 160. Так как угол ADC = (180 - α) / 2, угол ADB = 160 - (180 - α) / 2. В треугольнике ABD, AB = AD, следовательно он равнобедренный и угол ABD = углу ADB. Так как угол ABC = 90 - α/2, то угол DBC = угол ABC - угол ABD. А угол ABD = 160 - (180 - α) / 2. Сумма углов в треугольнике BDC равна 180. Угол DBC + угол BCD + угол BDC = 180. Угол BCD = угол BCA = (180 - α) / 2 = 90 - α/2. Угол DBC = угол ABC - угол ABD = (90 - α/2) - (160 - (180 - α) / 2) = (90 - α/2) - (160 - 90 + α/2) = (90 - α/2) - (70 + α/2) = 20 - α. Тогда: (20 - α) + (90 - α/2) + 160 = 180 20 - α + 90 - α/2 + 160 = 180 270 - (3/2)α = 0 (3/2)α = 270 - 180 α = (90 * 2) / 3 α = 60

Угол ВАС = 20

Ответ: 20