7. . На стороне АС треугольника АВС нашлись такие точки М и N, что АВ = АМ и СВ = СМ (точка N принадлежит отрезку АМ). Известно, что ∠ABC = 80°. Найдите угол МBN.

Решение:

1) Рассмотрим треугольник ABM. Так как AB = AM, то треугольник ABM - равнобедренный с основанием BM. Следовательно, углы при основании равны: ∠ABM = ∠AMB.

2) Рассмотрим треугольник CBN. Так как CB = CN, то треугольник CBN - равнобедренный с основанием BN. Следовательно, углы при основании равны: ∠CBN = ∠CNB.

3) Пусть ∠ABM = x и ∠CBN = y. Тогда ∠AMB = x и ∠CNB = y. Сумма углов треугольника ABC равна 180°, то есть ∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180°.

4) ∠BAC = ∠BAM = x и ∠BCA = ∠BCN = y. Тогда x + y + 80° = 180°, откуда x + y = 100°.

5) Угол ∠MBN = ∠ABC - ∠ABM - ∠CBN = 80° - x - y = 80° - (x + y) = 80° - 100° = -20°. Это невозможно.

Условие задачи содержит ошибку, так как точка N должна принадлежать отрезку MC.

Если точка N принадлежит отрезку MC, то CB = CN.

1) Рассмотрим треугольник ABM. Так как AB = AM, то треугольник ABM - равнобедренный с основанием BM. Следовательно, углы при основании равны: ∠ABM = ∠AMB.

2) Рассмотрим треугольник CBN. Так как CB = CN, то треугольник CBN - равнобедренный с основанием BN. Следовательно, углы при основании равны: ∠CBN = ∠CNB.

3) ∠BAC + ∠BCA = 180° - 80° = 100°.

4) ∠MBN = 180° - (∠AMB + ∠CNB)

К сожалению, без дополнительных построений или сведений, невозможно найти угол MBN.

Ответ: Невозможно найти угол MBN при данных условиях.