На стороне BC квадрата ABCD отмечена точка K так, что ∠AKB = 70°. Диагональ BD пересекает отрезок AK в точке P. Найдите угол ∠APD.

Пусть сторона квадрата равна 1, а \(BK=t\). В прямоугольном треугольнике ABK угол при B прямой, поэтому \(\angle BAK=20^\circ\), а \(t=\tan20^\circ\).

Расположим квадрат так: A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1), D(0, 1). Тогда K(1, t), а прямая AK имеет уравнение \(y=tx\). Диагональ BD задаётся уравнением \(x+y=1\). В точке P пересечения этих прямых \(x=1/(1+t)\), поэтому отношение вертикального и горизонтального смещений от P до D равно \((1-tx)/x=1\). Следовательно, луч PD образует с горизонталью угол 135°.

Луч PA лежит на прямой AK; его направление от P составляет 200° с положительным направлением горизонтали. Значит, меньший угол между PA и PD равен \(200^\circ-135^\circ=65^\circ\).

Ответ: 65°.