В параллелограмме ABCD проведены биссектрисы углов A и B, которые пересекаются в точке K, лежащей на стороне CD. Докажите, что если AK = BK, то параллелограмм ABCD является прямоугольником.

Соседние углы параллелограмма supplementary: \(\angle A+\angle B=180^\circ\). Их биссектрисы образуют угол, равный \(\angle A/2+\angle B/2=90^\circ\), значит, \(AK\perp BK\).

По условию \(AK=BK\), поэтому треугольник ABK равнобедренный прямоугольный, и его углы при A и B равны 45°. Поскольку AK и BK — биссектрисы, \(\angle A=2\cdot45^\circ=90^\circ\) и \(\angle B=2\cdot45^\circ=90^\circ\).

Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником. Что и требовалось доказать.