На стороне BC прямоугольника ABCD отметили точку S, а на луче DA - точку P (см. рисунок). Прямые PS и DC пересекаются в точке F. Найдите периметр прямоугольника ABCD, если AP = SC = 5, BS = CF = 4.

Пусть AD = x, AB = y. Тогда DA = AD = x, BC = AD = x. Так как AP = 5, то PD = AD - AP = x - 5. Так как BS = 4, то SC = 5 (по условию). Поскольку CF = 4, треугольник SCF прямоугольный и равнобедренный, следовательно, SF = 4 \(\sqrt{2}\). Рассмотрим треугольники PDF и SCF. У них \(\angle PDF = \angle SCF = 90^{\circ}\) и \(\angle DFP = \angle CFS\) как вертикальные. Значит, треугольники подобны. \(\frac{PD}{CF} = \frac{DF}{SF}\) \(\frac{x-5}{4} = \frac{DF}{4\sqrt{2}}\) \(DF = (x-5)\sqrt{2}\) В прямоугольном треугольнике PDF: \(PF^2 = PD^2 + DF^2\) В прямоугольном треугольнике DCF: \(FC^2 + DC^2 = FD^2\) Подставим известные значения: \(4^2 + y^2 = ((x-5)\sqrt{2})^2\) \(16 + y^2 = 2(x-5)^2\) \(16 + y^2 = 2(x^2 - 10x + 25)\) \(16 + y^2 = 2x^2 - 20x + 50\) \(y^2 = 2x^2 - 20x + 34\) Трапеция PABS является равнобокой, так как AP = BS = 5. Следовательно, AS = BP. \(AS^2 = AB^2 + BS^2 = y^2 + 4^2 = y^2 + 16\) \(BP^2 = BA^2 + AP^2 = y^2 + 5^2 = y^2 + 25\) По теореме косинусов: \(PS^2 = AP^2 + AS^2 - 2 × AP × AS × cosA\) \(PS^2 = y^2 + (x-5)^2\) Рассмотрим прямоугольные треугольники ABS и APD. \(AB = CD = y\) и \(AD = BC = x\). \(\angle P = \angle S\) \(PF^2 = PD^2 + DF^2\) \(SF^2 = SC^2 + CF^2\) Если \(x=9\), тогда \(PD = 9-5 = 4\), значит, \(PD = CF = 4\), следовательно, \(PDF\) и \(SCF\) - равные треугольники. Тогда \(DC = SC = 5\). То есть, \(AB = 5\). Тогда периметр \(P = 2(AB + AD) = 2(5 + 9) = 2 × 14 = 28\). **Ответ: 28**