2. На стороне ВС ромба ABCD лежит точкаК такая, что ВК = КС, О - точка пересечения диагоналей. Выразите векторы АО, АК, КД через векторы а = АВ и в = AD.

2. Рассмотрим ромб ABCD, где K - середина BC, O - точка пересечения диагоналей. Выразим векторы $$ \vec{AO}, \vec{AK}, \vec{KD} $$ через векторы $$ \vec{a} = \vec{AB} $$ и $$ \vec{b} = \vec{AD} $$.

В ромбе диагонали являются биссектрисами углов и делятся пополам точкой пересечения. $$ \vec{AO} = \frac{1}{2} \vec{AC} $$.

Так как $$ \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b} $$, то $$ \vec{AO} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) $$.

Теперь выразим $$ \vec{AK} $$. $$ \vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK} = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{BC} = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{AD} = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} $$.

Выразим $$ \vec{KD} $$. $$ \vec{KD} = \vec{KC} + \vec{CD} = \frac{1}{2} \vec{BC} + \vec{CD} = \frac{1}{2} \vec{AD} - \vec{AB} = \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{a} $$.

Ответ: $$ \vec{AO} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}), \vec{AK} = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}, \vec{KD} = \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{a} $$.