4. На стороне ВС треугольника АВС отметили точку М так, что ВМ : MC = 2 : 9. Через точку М провели пря- мую, которая параллельна стороне АС треугольника и пересекает сторону АВ в точке К. Найдите сторо- ну АС, если МК = 18 см.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Точка $$M$$ лежит на стороне $$BC$$, а точка $$K$$ лежит на стороне $$AB$$. Прямая $$MK$$ параллельна стороне $$AC$$.

Из условия задачи известно, что $$BM : MC = 2 : 9$$, $$MK = 18 \text{ см}$$.

Необходимо найти сторону $$AC$$.

Поскольку $$MK \parallel AC$$, то треугольники $$BMK$$ и $$BAC$$ подобны (по двум углам).

Следовательно, $$\frac{BM}{BC} = \frac{MK}{AC}$$.

Выразим $$BC$$ через $$BM$$ и $$MC$$:

$$BC = BM + MC$$

Из отношения $$BM : MC = 2 : 9$$ следует, что $$MC = \frac{9}{2} BM$$.

Тогда $$BC = BM + \frac{9}{2} BM = \frac{2}{2} BM + \frac{9}{2} BM = \frac{11}{2} BM$$.

Подставим полученное выражение в пропорцию:

$$\frac{BM}{\frac{11}{2} BM} = \frac{18}{AC}$$

$$\frac{2}{11} = \frac{18}{AC}$$

$$AC = \frac{18 \cdot 11}{2} = 9 \cdot 11 = 99 \text{ см}$$.

Ответ: $$AC = 99 \text{ см}$$