4 На высоте равнобедренного ΔMNK, проведенной к основанию МК, взята точка Q, а на сторонах MN и NK – точки R и S соответственно (точки Q, R и S не лежат на одной прямой). Известно, что NR = NS. Докажите, что: а) углы NRQ и NSQ равны; б) углы RSQ и QRS равны.

Рассмотрим рисунок.

а) Рассмотрим треугольники NRQ и NSQ:

NQ - общая сторона,

NR = NS по условию,

∠RNQ = ∠SNQ (так как NQ высота и биссектриса).

Следовательно, ΔNRQ = ΔNSQ по двум сторонам и углу между ними, значит углы NRQ и NSQ равны, что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим треугольники MNK:

Так как ΔMNK равнобедренный, то ∠NMK = ∠NKQ.

Так как NR = NS, то ΔNRS равнобедренный, значит ∠NRS = ∠NSR.

∠NRS = ∠NSR = (180 - ∠N) / 2.

∠MRK = 180 - ∠NRS.

∠KSM = 180 - ∠NSR.

Следовательно, ∠MRK = ∠KSM.

Рассмотрим треугольники MRK и KSM:

MK - общая сторона,

∠NMK = ∠NKQ,

∠MRK = ∠KSM.

Следовательно, ΔMRK = ΔKSM, значит MR = SK.

Так как MN = NK и NR = NS, то MR = MN - NR = NK - NS = SK.

Рассмотрим треугольники QRS:

QR = QS (так как ΔNRQ = ΔNSQ), значит ΔQRS - равнобедренный, следовательно углы RSQ и QRS равны, что и требовалось доказать.

Ответ: углы NRQ и NSQ равны; углы RSQ и QRS равны.