2 В равнобедренном треугольнике PQR точки Х и У являются серединами боковых сторон PQ и QR соответственно. QS – медиана треугольника. Докажите, что треугольники PXS и RYS равны.

Рассмотрим рисунок.

В равнобедренном треугольнике PQR, PQ=QR, углы при основании равны ∠P=∠R.

Точки X и Y являются серединами сторон PQ и QR соответственно, значит PX=XQ=RY=YQ.

QS - медиана, следовательно, делит угол PQR пополам.

Рассмотрим ΔPQS и ΔRQS:

PQ = QR (как боковые стороны равнобедренного треугольника), QS - общая сторона, углы ∠PQS=∠RQS (так как QS медиана). Следовательно ΔPQS=ΔRQS по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), значит PS=RS.

Рассмотрим ΔPXS и ΔRYS:

PX=RY, ∠P=∠R, PS=RS, следовательно, ΔPXS=ΔRYS по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), что и требовалось доказать.

Ответ: ΔPXS=ΔRYS