Начертить в тетради. 1) ABCD — трапеция; ∠A = 70°, ∠C = 150°. Найти ∠B и ∠D. 2) ABCD — равнобедренная трапеция; ∠A = 60°. Найти ∠B, ∠C, ∠D. 3) ABCD — трапеция; AB = 9; углы при основаниях A и D отмечены равными. Найти CD. 4) ABCD — равнобедренная трапеция; BK и CM перпендикулярны AD; AK = 2, KM = 10. Найти AD и BC. 5) ABCD — трапеция; AB = BC = CD; ∠CAD = 40°. Найти ∠A, ∠B, ∠C, ∠D. 6) ABCD — прямоугольная трапеция; AB = BC = 10, ∠D = 45°. Найти AD.

1) Так как основания трапеции параллельны, односторонние углы при боковой стороне в сумме равны 180°.

\(\angle B=180°-\angle A=110°\); \(\angle D=180°-\angle C=30°\).

Ответ: ∠B = 110°, ∠D = 30°.

2) В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, а соседние углы supplementary.

\(\angle D=\angle A=60°\), \(\angle B=180°-60°=120°\), \(\angle C=\angle B=120°\).

Ответ: ∠B = 120°, ∠C = 120°, ∠D = 60°.

3) Равные углы при основании трапеции означают, что она равнобедренная, поэтому её боковые стороны равны: \(CD=AB=9\).

Ответ: CD = 9.

4) В равнобедренной трапеции проекции боковых сторон на большее основание равны, поэтому \(MD=AK=2\). Тогда \(AD=AK+KM+MD=2+10+2=14\). Перпендикуляры BK и CM образуют прямоугольник BKCM, поэтому противоположные стороны равны: \(BC=KM=10\).

Ответ: AD = 14, BC = 10.

5) Поскольку \(BC\parallel AD\), накрест лежащие углы равны: \(\angle ACB=\angle CAD=40°\). Из \(AB=BC\) следует, что в треугольнике ABC углы при A и C равны, значит \(\angle BAC=40°\), а \(\angle ABC=100°\). Тогда \(\angle A=\angle BAC+\angle CAD=80°\). Соседние углы трапеции supplementary, а потому \(\angle D=100°\) и \(\angle C=80°\).

Ответ: ∠A = 80°, ∠B = 100°, ∠C = 80°, ∠D = 100°.

6) Высота трапеции равна \(AB=10\), а разность оснований равна горизонтальной проекции наклонной стороны. При угле 45° образуется прямоугольный равнобедренный треугольник, поэтому эта проекция тоже равна 10. Следовательно, \(AD=BC+10=10+10=20\).

Ответ: AD = 20.